Um dos tópicos a ser trabalho com os alunos é a aceleração da gravidade. Para que os alunos relacionem o tema com a realidade será realizada uma experiência utilizando-se o Pêndulo Simples, cujas partes constituintes são representadas na figura 1:
O pêndulo simples é composto de um corpo de massa m e um fio inextensível de massa desprezível em relação à massa m do corpo. Quando o corpo suspenso pelo fio é afastado da sua posição vertical de equilíbrio estático e largado em queda livre, origina-se uma oscilação no plano vertical sob a ação da resultante das forças peso (do corpo) e da tensão (no fio), gerando um Movimento Harmônico ilustrado na figura 2:
A trajetória descrita pelo corpo de massa m é circular e as componentes tangencial e centrípeta da força
As componentes das forças são apresentadas a seguir
Para que o movimento possa ser considerado Harmônico Simples (MHS), temos que considerar oscilações com valores do ângulo A bem reduzidos (A < 10°), de modo que poderemos fazer as seguintes aproximações: sen A ≅ A e o cos A ≅ 1. Assim, utilizando o formalismo matemático característico da teoria do MHS (Luis e Gouveia, 1989), chega-se à equação do pêndulo:
(equação1)t = n x T (equação2)
Nesta expressão n é o número de oscilações completas, t é o tempo medido no relógio para completar as n oscilações e T é o período do pêndulo simples.
Convém ressaltar que na realidade estamos utilizando uma idealização, pois como a massa m do corpo está distribuída e não localizada em um ponto, o que temos é o Pêndulo Físico e para a dedução da equação 1 foi considerado um corpo com massa m pontual.
Ainda que a massa do fio seja desprezível e que a esfera possua densidade constante, é possível demonstrar que o comprimento do pêndulo simples equivalente, ou seja, o comprimento do pêndulo simples que tem o mesmo período do pêndulo físico, é maior do que a distância do ponto de suspensão ao centro de gravidade da esfera (Silveira, 1997), embora tal enfoque fuja ao contexto adotado no momento.
A aceleração da gravidade é entendida como sendo a aceleração presente no movimento de queda livre de um corpo nas vizinhanças da Terra, variando de ponto para ponto, pois depende da presença de montanhas, de massas de águas, da altitude, da latitude, da rotação da Terra etc. Portanto, o valor adotado sofre variações, conforme mostra a tabela 1. Por exemplo, na latitude de 45° e ao nível do mar o valor adotado como padrão (aceleração normal da gravidade) é gTEÓRICO = 9,80665 m/s.s (Macedo, 1976).
Tabela 1: Exemplos de variações no valor da aceleração da gravidade com a altitude e a latitude.
No equador o valor de g é mínimo e nos pólos seu valor é máximo, pois nestes pontos não existe a influência da rotação terrestre. A discussão destes aspectos com os alunos possibilita aos mesmos compreender algumas nuances e detalhes envolvidos com a gravidade e que normalmente não são discutidos com alunos da Educação Básica.
Ao utilizarmos a equação do Pêndulo Simples podemos propiciar aos alunos condições para que possam controlar alguns parâmetros envolvidos no modelo matemático correspondente, tais como o comprimento L do fio e o período de oscilação T. Cabe ressaltar que há outros parâmetros que não foram considerados nesta abordagem, conforme descreve a próxima seção.
Inicialmente, deve-se fixar um valor para n (na atividade foi escolhido n = 10) e então cronometrar o tempo t necessário para a realização das n oscilações. A cada valor indicado para o parâmetro L sugeriu-se a realização de três séries de medições com n oscilações cada uma, devendo ser calculado o valor médio observado nas medições, tabulando-se os dados obtidos.
O valor médio do tempo das n oscilações pode ser obtido facilmente pela média simples dos valores obtidos em cada série de medidas. Deste modo, obtidos os dados necessários, cada grupo de alunos deveria determinar o erro percentual entre os valores teóricos e experimentais da aceleração da gravidade, utilizando a seguinte expressão:
(equação 3)
Na equação 3 acima, o erro percentual E (%) das medidas considera o valor do gTEÓRICO adotado internacionalmente, sendo que o valor experimental gExperimental depende de outros fatores que não foram considerados por motivos técnicos e pela simplicidade do experimento proposto.
Alguns parâmetros que não foram considerados na abordagem
Nesta seção serão analisados alguns parâmetros que não foram considerados na realização da atividade prática desenvolvida com os alunos.
Altitude (h)
Podemos determinar (com certa margem de erro) qual é o valor do gE na altura h em que estamos efetuando as medições, sendo h medido em relação ao raio médio da Terra. Assim, adotando a Terra como se fosse uma esfera perfeita de raio R = 6.380 km, podemos utilizar a expressão abaixo, onde gh é o próprio gE:
Figura 4 – Representação esquemática de uma altura h em relação ao raio terrestre.
Latitude (a)
O valor da aceleração da gravidade g depende da Latitude “a” do lugar, sendo calculada analiticamente pela expressão (Macedo, 1976):
Força de Coriolis
Esta é uma das forças inerciais, cujo efeito é causado pelos movimentos do corpo e da rotação da Terra, influenciando no valor da aceleração da gravidade.
No equador o valor do g Equador é mínimo e nos pólos o g Pólo é máximo, o que é gerado por uma diferença entre os valores das velocidades angulares, ou seja:
Realizar uma atividade prática com o objetivo de determinar o valor da aceleração da gravidade local, sendo os alunos instruídos a trabalhar em grupos de três ou no máximo quatro. Realizar o experimento no interior da própria sala de aula, onde os estudantes deverão utilizar o pêndulo gravitacional simples, empregando materiais como:
1ª etapa: Através das oscilações do pêndulo, os alunos devem determinar o tempo total que o mesmo leva para efetuar dez oscilações completas e anotar os valores em uma tabela previamente elaborada e passada aos alunos. Este procedimento deve ser repetido por três vezes para um mesmo comprimento do fio, sendo em seguida calculado o valor médio.
Tabela 2: Exemplo de tabela para compilar os dados
Após calcular o valor médio do tempo das n oscilações, cada grupo deve mudar o comprimento L do fio e efetuar novas medidas das oscilações para outros 4 valores de L.
Com base na teoria discutida anteriormente, os grupos podiam determinar o valor da aceleração da gravidade experimental gExperimental, o erro percentual E(%) cometido e por fim, a média dos valores encontrados para gExperimental e para E(%).
Recomendamos o uso de um tamanho mínimo de 1,0 m para L, evitando-se assim tamanhos muito pequenos que dificultariam a precisão na medida do tempo de oscilação, pois adotando um valor menor do que o sugerido corre-se o risco de que as diferenças entre as medidas de tempo fiquem por volta dos milésimos ou até mesmo décimos de milésimos.
2ª etapa: Envolveu a construção de gráficos em papel milimetrado, tendo por base uma tabela geral formada com os dados obtidos por todos os grupos de alunos da classe, sendo solicitado que elaborassem os seguintes gráficos:
Cada grupo deve apresentar as principais conclusões obtidas na atividade, com base nos resultados encontrados pelo grupo e nas discussões dos resultados gerais encontrados pelos demais grupos da turma.
4ª etapa: Buscar conclusões acerca da aceleração da gravidade, sendo que neste momento cada grupo deve responder a duas questões conceituais propostas:
Referência:
CAMPOS, C.A.;VEIGA, J.S; ARAUJO, M.S.T; Desenvolvimento de competências por meio da experimentação visando a determinação da aceleração da gravidade através de um pêndulo simples. XVII SNEF, Vitório-ES, 2009.
Nesta expressão n é o número de oscilações completas, t é o tempo medido no relógio para completar as n oscilações e T é o período do pêndulo simples.
Convém ressaltar que na realidade estamos utilizando uma idealização, pois como a massa m do corpo está distribuída e não localizada em um ponto, o que temos é o Pêndulo Físico e para a dedução da equação 1 foi considerado um corpo com massa m pontual.
Ainda que a massa do fio seja desprezível e que a esfera possua densidade constante, é possível demonstrar que o comprimento do pêndulo simples equivalente, ou seja, o comprimento do pêndulo simples que tem o mesmo período do pêndulo físico, é maior do que a distância do ponto de suspensão ao centro de gravidade da esfera (Silveira, 1997), embora tal enfoque fuja ao contexto adotado no momento.
A aceleração da gravidade é entendida como sendo a aceleração presente no movimento de queda livre de um corpo nas vizinhanças da Terra, variando de ponto para ponto, pois depende da presença de montanhas, de massas de águas, da altitude, da latitude, da rotação da Terra etc. Portanto, o valor adotado sofre variações, conforme mostra a tabela 1. Por exemplo, na latitude de 45° e ao nível do mar o valor adotado como padrão (aceleração normal da gravidade) é gTEÓRICO = 9,80665 m/s.s (Macedo, 1976).
Tabela 1: Exemplos de variações no valor da aceleração da gravidade com a altitude e a latitude.
No equador o valor de g é mínimo e nos pólos seu valor é máximo, pois nestes pontos não existe a influência da rotação terrestre. A discussão destes aspectos com os alunos possibilita aos mesmos compreender algumas nuances e detalhes envolvidos com a gravidade e que normalmente não são discutidos com alunos da Educação Básica.
Ao utilizarmos a equação do Pêndulo Simples podemos propiciar aos alunos condições para que possam controlar alguns parâmetros envolvidos no modelo matemático correspondente, tais como o comprimento L do fio e o período de oscilação T. Cabe ressaltar que há outros parâmetros que não foram considerados nesta abordagem, conforme descreve a próxima seção.
Inicialmente, deve-se fixar um valor para n (na atividade foi escolhido n = 10) e então cronometrar o tempo t necessário para a realização das n oscilações. A cada valor indicado para o parâmetro L sugeriu-se a realização de três séries de medições com n oscilações cada uma, devendo ser calculado o valor médio observado nas medições, tabulando-se os dados obtidos.
O valor médio do tempo das n oscilações pode ser obtido facilmente pela média simples dos valores obtidos em cada série de medidas. Deste modo, obtidos os dados necessários, cada grupo de alunos deveria determinar o erro percentual entre os valores teóricos e experimentais da aceleração da gravidade, utilizando a seguinte expressão:
Na equação 3 acima, o erro percentual E (%) das medidas considera o valor do gTEÓRICO adotado internacionalmente, sendo que o valor experimental gExperimental depende de outros fatores que não foram considerados por motivos técnicos e pela simplicidade do experimento proposto.
Alguns parâmetros que não foram considerados na abordagem
Nesta seção serão analisados alguns parâmetros que não foram considerados na realização da atividade prática desenvolvida com os alunos.
Altitude (h)
Podemos determinar (com certa margem de erro) qual é o valor do gE na altura h em que estamos efetuando as medições, sendo h medido em relação ao raio médio da Terra. Assim, adotando a Terra como se fosse uma esfera perfeita de raio R = 6.380 km, podemos utilizar a expressão abaixo, onde gh é o próprio gE:
Latitude (a)
O valor da aceleração da gravidade g depende da Latitude “a” do lugar, sendo calculada analiticamente pela expressão (Macedo, 1976):
Força de Coriolis
Esta é uma das forças inerciais, cujo efeito é causado pelos movimentos do corpo e da rotação da Terra, influenciando no valor da aceleração da gravidade.
No equador o valor do g Equador é mínimo e nos pólos o g Pólo é máximo, o que é gerado por uma diferença entre os valores das velocidades angulares, ou seja:
Na realidade, esta constante encontrada 0,0336 m/s2 é um pouco maior, isto é, vale 0,052 m/s2. Esta variação do valor da aceleração da gravidade com a latitude é devida a dois fatores (Luis e Gouveia, 1989):
- O achatamento da Terra: forma de um elipsóide oblato, o que significa dizer que os diâmetros equatoriais e polares diferem entre si, uma vez que o raio da Terra não é constante em todas as direções;
- A ação da força centrífuga por causa do movimento de rotação da Terra.
Realizar uma atividade prática com o objetivo de determinar o valor da aceleração da gravidade local, sendo os alunos instruídos a trabalhar em grupos de três ou no máximo quatro. Realizar o experimento no interior da própria sala de aula, onde os estudantes deverão utilizar o pêndulo gravitacional simples, empregando materiais como:
- Pedaços de barbante com tamanhos diversos ou apenas um pedaço bem longo;
- Fita adesiva (para fixar os barbantes no suporte);
- Suporte (improvisar com as próprias carteiras da sala de aula);
- Corpo de pequena massa, preferencialmente esférico ou no máximo arredondado (para servir como ‘peso’);
- Trena ou uma régua simples;
- Um relógio comum com contagem de segundos.
1ª etapa: Através das oscilações do pêndulo, os alunos devem determinar o tempo total que o mesmo leva para efetuar dez oscilações completas e anotar os valores em uma tabela previamente elaborada e passada aos alunos. Este procedimento deve ser repetido por três vezes para um mesmo comprimento do fio, sendo em seguida calculado o valor médio.
Tabela 2: Exemplo de tabela para compilar os dados
Com base na teoria discutida anteriormente, os grupos podiam determinar o valor da aceleração da gravidade experimental gExperimental, o erro percentual E(%) cometido e por fim, a média dos valores encontrados para gExperimental e para E(%).
Recomendamos o uso de um tamanho mínimo de 1,0 m para L, evitando-se assim tamanhos muito pequenos que dificultariam a precisão na medida do tempo de oscilação, pois adotando um valor menor do que o sugerido corre-se o risco de que as diferenças entre as medidas de tempo fiquem por volta dos milésimos ou até mesmo décimos de milésimos.
2ª etapa: Envolveu a construção de gráficos em papel milimetrado, tendo por base uma tabela geral formada com os dados obtidos por todos os grupos de alunos da classe, sendo solicitado que elaborassem os seguintes gráficos:
- g Experimental (m/s2) versus L (m);
- g Experimental (m/s2) versus T (s);
- Média dos g Experimental (m/s2) versus freqüência.
Cada grupo deve apresentar as principais conclusões obtidas na atividade, com base nos resultados encontrados pelo grupo e nas discussões dos resultados gerais encontrados pelos demais grupos da turma.
4ª etapa: Buscar conclusões acerca da aceleração da gravidade, sendo que neste momento cada grupo deve responder a duas questões conceituais propostas:
- 1 - Um corpo pode ter massa igual a zero? E o peso pode ser igual a zero? Explique.
- 2 - “Quer perder peso, vá para a Lua!”. Esta frase é uma sátira sobre os vários tipos de regimes alimentares que existem na atualidade. Sabendo-se que a aceleração da gravidade da Lua tem um valor aproximado de um sexto do valor da aceleração da gravidade terrestre, então para um corpo que tenha uma massa m = 60 kg , qual será:
- O peso deste corpo na Lua? E na Terra, qual será o peso dele?
- A massa deste corpo na Lua? E na Terra, qual será a massa dele?
Referência:
CAMPOS, C.A.;VEIGA, J.S; ARAUJO, M.S.T; Desenvolvimento de competências por meio da experimentação visando a determinação da aceleração da gravidade através de um pêndulo simples. XVII SNEF, Vitório-ES, 2009.
